Pseudo-contractibilidad en hiperespacios de continuos

Abstract

Uno de los conceptos que ha inquietado a los topólogos es el de contractibilidad. Intuitivamente un espacio es contráctil si se puede deformarse de manera continua hasta llevarlo a un sólo punto. Este concepto ha sido ampliamente estudiado por una cantidad importante de investigadores. Existe en la literatura un concepto relacionado a este, el cual es llamado pseudo-contractibilidad. En cierto modo generaliza la noción de contractibilidad. Este trabajo está enfocado principalmente en el estudio de este último, aplicado escencialmente a hiperespacios de continuos. R. H. Bing introdujo la noción de pseudo-contractibilidad; sin embargo, fue W. Kuperberg el primer matemático que probó que las nociones de pseudo-contractibilidad y contractibilidad son diferentes. Por la naturaleza del ejemplo que el dio, el cual, en apariencia es más complejo de escribir y muy similar en cierto sentido a la curva del topólogo preguntó lo siguiente: ¿Será la curva del topólogo pseudo-contráctil? En esta línea, H. Katsuura probó que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil con espacio factor el mismo. El mismo probó que si Y es un continuo indescomponible no degenerado tal que cada una de sus composantes es arcoconexa y X es continuo que tienearco-componentes densas, entonces X no es pseudo-contráctil con factor Y . Algunas preguntas relacionadas con el tema son las siguientes: Pregunta 1. ¿Es la curva del topólogo pseudo-contráctil con espacio factor el pseudoarco? Pregunta 2. ¿Es el pseudoarco pseudo-contráctil con espacio factor el pseudoarco? W. Debski probó que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil. Por otra parte, M. Sobolewsky mostró que el único continuo encadenable pseudo-contráctil es el arco, con esto responde negativamente a la pregunta 2, pues como se sabe el pseudoarco es un continuo encadenable. Realmente no es mucho lo trabajado en este tema. Actualmente en se probó que en hiperespacios como 2^X, C(X), entre otros, los conceptosde pseudo-contractibilidad y contractibilidad coinciden. Realmente ver que las dos nociones en estos hiperespacios, es parte de un problema más general, a saber: determinar en que tipo de espacios topólogicos los conceptos de pseudo-contractibilidad y contractibilidad coinciden. Este trabajo está basado en una familia de spacios topologicos en donde estos conceptos coinciden, a saber la familia de los hiperespacios de g-crecimiento.