Pseudo-contractibilidad en espacios topológicos

Abstract

Sean X y Y espacios topológicos y f, g : X → Y funciones continuas. Diremos que f es pseudo-homotópica a g si existen un continuo C, dos puntos a, b ∈ C y una función continua H : X × C → Y tales que H(x, a) = f(x) y H(x, b) = g(x) para cada x ∈ X. La función H es llamada una pseudo-homotopía entre f y g y el continuo C es llamado espacio factor. Un espacio topológico X se dice ser pseudo-contráctil si la función identidad id_X es pseudo-homotópica a una función constante en X. Claramente estos conceptos generalizan a los conceptos de homotopía y contractibilidad, respectivamente. De estos últimos existen una gran variedad de resultados y artículos relacionados con el tema. R. H. Bing introdujo la noción de pseudo-contractibilidad; sin embargo, fue W. Kuperberg el primer matemático que probó que las nociones de pseudo-contractibilidad y contractibilidad son diferentes. Por la naturaleza del ejemplo que él dió, el cual, en apariencia es más complejo de escribir y similar a la curva del topólogo sen (1/x) , él preguntó lo siguiente: ¿Será la curva del topólogo pseudo-contráctil? En esta línea, H. Katsuura probó que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil con espacio factor él mismo. De igual forma probó que si Y es un continuo indescomponible no degenerado tal que cada una de sus composantes es arco-conexa y X es un continuo que tiene arco-componentes densas, entonces X no es pseudo-contráctil con espacio factor Y . Otras preguntas relacionadas con el tema son las siguientes: Pregunta 1. ¿Es la curva del topólogo pseudo-contráctil con espacio factor el pseudoarco? Pregunta 2. ¿Es el pseudoarco pseudo-contráctil con espacio factor el pseudoarco? W. Debski demostró que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil. Por otra parte, M. Sobolewsky mostró que el único continuo encadenable pseudo-contráctil es el arco, con esto se responde negativamente a la pregunta 2, pues como se sabe el pseudo-arco es un continuo encadenable. Actualmente se probó que en hiperespacios como 2^X, y C(X), entre otros, los conceptos de pseudo-contractibilidad y contractibilidad coinciden. Realmente esto es parte deun problema general, a saber: determinar en que tipo de espacios topológicos los conceptos de pseudo-contractibilidad y contractibilidad coinciden.