Espacios cociente

Abstract

Sean X un espacio topológico, Y un conjunto no vacío y g : X → Y una función suprayectiva. La colección τg subconjunto del conjunto potencia de Y definida por τg= {U ⊆ Y : g−1(U) es abierto en Y } es una topología en Y llamada la topología de identificación inducida por g en Y. Uno de los temas principales que se analizan en cursos basicos de Topología general es el de espacio de identificación. Esta topología fue estudiada por R.L.Moore y R.D. Anderson en 1948 (Concerning upper semicontinuous collections of Continua) y P.Alexandroff en 1927 (über stetige Abkildung Kompakter R¨aume). La importancia de este tipo de espacios radica en su uso; es decir, con ellos principalmente se pueden construir espacios topologicos con ciertas propiedades especiales que permiten mostrar ejemplos o contraejemplos a conjeturas importantes y que sin esta herramienta podría ser imposible resolverlos. Los espacios de identificación más usados son aquellos generados por un espacio X una partición D o una relación de equivalencia y la función natural entre ellos, en la cual a cada elemento del dominio X le corresponde como imagen al único elemento de la partición D que lo contiene. Estos últimos espacios también son llamados espacios de descomposición o espacios cociente. Aquí desarrollaremos resultados generales relacionados a la topología de identificación, así como determinar cuándo un espacio topológico Y tiene la topología de identificación generada por un espacio X y una función g suprayectiva entre ellos. Veremos también si las propiedades que tiene X son preservadas, o no, en Y bajo funciones de identificación. Mostraremos resultados adicionales cuando el espacio X es un continuo y el conjunto Y es una partición D de ´el, así como también cuando un espacio de descomposición es semicontinuo superiormente.