Sobre pseudo-contractibilidad y conjuntos rígidos en continuos

Abstract

Sean X y Y espacios topológicos y f, g :X→Y funciones continuas. Se dice que f es pseudo-homotópica a g si existen un continuo C, dos puntosa, b ∈C y una función continua H:X×C→Y tales que H(x, a) =f(x) y H(x, b) =g(x) para cada x∈X. La función H es llamada una pseudo-homotopía entre f y g y el continuo C es llamado espacio factor. Un espacio topológico X se dice ser pseudo-contráctil si la función identidad Id es pseudo-homotópica a una función constante en X. Claramente, estos conceptos generalizan a los conceptos de homotopía y contractibilidad dados en la topología general. Históricamente, R. H. Bing introdujo la noción de pseudocontractibilidad; sin embargo, fue W. Kuperberg el primer matemático que probó que las nociones de pseudo-contractibilidad y contractibilidad son diferentes. Él presentó un continuo pseudo-contráctil no contráctil. Por la naturaleza del ejemplo que W. Kuperberg dió, el cual, en apariencia es más complejo de escribir y similar a la curva del topólogo, preguntó lo siguiente: ¿Será la curva del topólogo pseudo-contráctil? En relación a esta pregunta, H. Katsuura probó que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil con espacio factor él mismo. Adicionalmente, probó que si Y es un continuo indescomponible no degenerado tal que cada una de sus componentes es arco-conexa y X es un continuo que tiene arco-componentes densas, entonces X no es pseudo-contráctil con espacio factor Y. Posteriormente, W. Debski probó que la curva del topólogo no es pseudo-contráctil. Ya en 2007, M. Sobolewsky presentó un resultado más general, mostrando que el ´único continuo encadenable pseudo-contráctil es el arco. Este resultado obviamente abarca a la curva del topólogo y al pseudo-arco, entre algunos otros continuos (este último se ignoraba si pudiese ser pseudo-contr´actil). El objetivo de este trabajo es presentar resultados relacionados a la pseudo.contractibilidad y determinar algunos conjuntos que no permiten que un espacio sea (pseudo-)contráctil.