Sobre la Geometria de los Productos Simetricos de la Recta Real

Abstract

Dado un número natural n definamos el n-ésimo producto simétrico de un espacio topológico, Fn (X ), como el conjunto formado por todos los subcon- juntos no vacíos de X con cardinalidad menor o igual que n, a este conjunto lo dotamos con la métrica de Hausdorff. Como ya mencionamos la noción de productos simétricos fue introducida por K. Borsuk y S. Ulam en 1931 en [4] y desde entonces ha sido estudiado por muchos autores principalmente en to- pología véase por ejemplo [1], [5], [6], [7] y [9]. Otro hiperespacio que ha sido ampliamente estudiado y tiene múltiples aplicaciones en análisis es el hiper- espacio de los subconjuntos cerrados y no vacíos de un espacio X , denotado por 2X . Al parecer la geometría de los productos simétricos no ha sido tan estudiada aunque parece más simple que la de 2X . Más sin embargo, es de suma importancia debido a que, por ejemplo, los productos simétricos Fn (X ) constituyen una sucesión creciente de subconjuntos de 2X , de tal manera que la unión de esta sucesión es densa en 2X por lo que estudiar los productos simétricos ayuda a entender a 2X . En [4] Borsuk y Ulam probaron que para n = 1, 2 y 3, Fn ([0, 1]) es homeomorfo a [0, 1]n y que para n ≥ 4, Fn ([0, 1]) no es homeomorfo a ningún subconjunto de Rn , y hacen la pregunta natural: Pregunta 1. ¿Para n ≥ 4, Fn (R) es homemorfo a algún subconjunto de Rn+1